学习记录之数学表达式（4）

文章目录

八、min 与 argmin
- 8.1 min
- 8.2 argmin
- 8.3 作业
九、累加、累乘与积分
- 9.1 累加
- 9.2 累乘
- 9.3 定积分
- 9.4 作业

八、min 与 argmin

min 和 argmin 在机器学习中常用；
max 和argmax 同理；

8.1 min

min 是 minimal 的缩写，用于获得集合中的最小值，如： $min \{3,1,9,8\}=1$ ，源码为：\min {3,1,9,8}=1，即 \min 是定义好的一种符号；
min 可以与向量/矩阵配合使用，如：给定向量 $\mathbf{x}=[3,1,9,8]$ ，则： $\min_{1 \le i \le 4} \mathbf{x}_i = 1$ ，源码为：\min_{1 \le i \le 4} \mathbf{x}_i = 1，本质与前面的集合方式相同；
min 可以和函数配合使用，如：令 $f(x)=x^2+x+1$ ， $\min_{-1 \le x \le 1} f(x)$ 表示 $x$ 取 $[- 1, 1]$ 区间的任意数，这些函数值构成了一个集合（重复元素只算一次），最终取最小的元素，源码为：\min_{-1 \le x \le 1} f(x)，其中 \le 表示 less than or equal，也可以写作 \leq；

8.2 argmin

argmin 是 argument minimal 的缩写，用于获得使函数取得最小值的参数；
\arg\min 总是可用的，若 Latex 模板不支持 \argmin，可以在 tex 文件头部加上：\DeclareMathOperator*{\argmin}{argmin}；
argmin 可以与向量/矩阵配合使用，这时参数可以是向量下标，如：给定向量 $\mathbf{x} = [3,1,9,8]$ ，则 $\argmin \mathbf{x}_i = 2$ 的值是使得 $\mathbf{x}_i$ 最小的参数值，即下标 $i$ 的值，给定矩阵：
$\mathbf{x} = \left[ \begin{matrix} 3&2&9&8 \\ 7&6&1&4 \end{matrix} \right]$
源码为：\mathbf{x} = \left[ \begin{matrix} 3&2&9&8 \ 7&6&1&4 \end{matrix} \right]，则 $\arg_{i,j}\min \mathbf{x}_{ij} = (2,3)$ 的值是使得 $\mathbf{x}_{ij}$ 最小的参数值，即 $i = 2, j = 3$ 。注意：这是返回了两个数据，在Java里面要专门处理，但Python可以直接支持。
argmin 与函数配合最常见，如：令 $f(x)=x^2+x+1$ ，则 $\arg_{-1 \le x \le 1} \min f(x) = -\frac{1}{2}$ 表示 $x$ 取 $-\frac{1}{2}$ 时函数取最小值 $\frac{3}{4}$ ，只是这个最小值没有人关心。

8.3 作业

解释推荐系统: 问题、算法与研究思路 2.1 中的优化目标： $\min \sum_{(i,j) \in \Omega}(f(\mathbf{x}_i,\mathbf{t}_j)-r_{ij})^2$
- $i, j$ ：遍历数据集中的元素；
- $\Omega$ ：表示所有 $(i, j)$ 对的集合；
- $\mathbf{x}_i$ ：第 $i$ 个数据的输入；
- $\mathbf{t}_j$ ：与 $\mathbf{x}_i$ 相关的第 $j$ 个数据的标签；
- $r_{ij}$ ：表示于 $(i, j)$ 对应的真实值；
- $f(\mathbf{x}_i,\mathbf{t}_j)$ ：输出一个预测值；
- $f(\mathbf{x}_i,\mathbf{t}_j)-r_{ij})^2$ 表示一个误差项；
- 对集合 $\Omega$ 中的所有 $(i, j)$ 对进行遍历，并计算每一对的预测值与真实值之间的平方差，然后求和；
- $\min$ 表示要对上述求和表达式求和并使之最小化；

九、累加、累乘与积分

该章节展示了数学语言和计算机语言的高度统一；

9.1 累加

单重整数累加：
$\sum_{i=1}^{10} i \tag{1}$
表示 $1+2+\dots+10$ ，源码为：\sum_{i=1}^{10} i \tag{1}；
用 Java 代码表示如下：

int sum = 0;
for (int i = 1; i <= 10; i++)
    sum += i;

数学表达式的下标习惯是从1开始，程序的下标相关从0开始，写程序是应该注意这个问题；

向量分量累加：
$\sum_{i=1}^{n} x_{i} \tag{2}$
表示 $x_1+x_2+\dots+x_n$ ，如果 $\mathbf{x}$ 的维度就是 $n$ 也可以简写为： $\sum_{i} x_{i}$ ；
用 Java 代码表示如下：

double sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    sum += x[i];

带条件的向量分量累加：
$\sum_{x_{i} \gt 0} x_{i} \tag{3}$
表示仅将向量 $\mathbf{x}$ 取值为正的分量相加；
用 Java 代码表示如下：

double sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (x[i} > 0)
        sum += x[i];

练习： $\sum_{x_{i} \gt 0} x_{i}^2$
用 Java 代码表示如下：

double sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (x[i} > 0)
        sum += x[i]*x[i};

存在歧义的累加：
$\sum_{x_{i} \gt 0} \left(x_{i}^2+x_{i}+1 \right) \tag{4}$
源码为：\sum_{x_{i} \gt 0} \left(x_{i}^2+x_{i}+1 \right) \tag{4}；
矩阵分量的二重累加：
$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} x_{ij} \tag{5}$
表示下三角矩阵分量（左下部分）相加，源码为：\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} x_{ij} \tag{5}；
用 Java 代码表示如下：

double sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= i; j++)
        sum += x[i][j];

具有欺骗性的表示法：上式可以简写为 $\sum_{i \ge j} x_{ij}$ ，要明白这是二重累加；
练习：将矩阵中小于1的分量平方并累加，数学表达式和 Java 代码分别怎么写？
数学表达式为： $\sum_{x_{ij} \lt 1} x_{ij}^2$
用 Java 代码表示如下：

double sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j<=n; j++)
        if (x[ij} < 1)
            sum += x[i][j] * x[i][j];

9.2 累乘

整数累乘：
$\prod_{i=1}^{10} i \tag{6}$
表示 $\times 2 \times \dots \times 10$ ，源码为：\prod_{i=1}^{10} i \tag{6}，其中 prod 是 product 的简写；
用 Java 代码表示如下：

int product = 1;
for (int i = 1; i <= 10; i++)
    product *= i;

程序要注意溢出，但是数学表达式不存在这种担忧，同时注意 product 初始化为1；

向量分量累乘：
$\prod_{i=1}^{n} x_{i} \tag{7}$
表示 $x_1 * x_2 * \dots * x_n$ ，如果 $\mathbf{x}$ 的维度就是n，也可以简写为 $\prod_{i=1} x_i$ ；
用 Java 代码表示如下：

double product = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    product *= x[i];

9.3 定积分

单变量函数的定积分，本质就是求曲线与 $x$ 轴之间的面积；
该面积带符号，所以正负面积可能会抵消一些；
$\int_{0}^{10} x^{2} + x +1 \mathrm(d)x \tag{8}$
源码为：\int_{0}^{10} x^{2} + x +1 \mathrm(d)x \tag{8}；
注意 d 的写法，这里也可以换成 {\rm d}；
用 Java 代码表示如下：

double integration = 0;
double delta = 0.01;
for (double x = 0; x <= 10; x += delta)
    integration += x * x * delta;

二重积分可以看作是求体积；
$\int_{0}^{10} \int_{\frac{y}{2}}^{y} 2 x^{2} y + y^{2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \tag{9}$
源码为：\int_{0}^{10} \int_{\frac{y}{2}}^{y} 2 x^{2} y + y^{2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \tag{9}；

double integration = 0;
double deltax = 0.01;
double deltay = 0.01; 
for (double y = 0; y <= 10; y += deltay)
    for (double x = y/2; x <= y; x += deltay)
        integration += (2 * x * x * y + y * y) * deltax * deltay;

写代码不用考虑积分的简洁形式；

9.4 作业

1、将向量下标为偶数的分量 $\left( x_2,x_4,\dots \right)$ 累加，写出相应的表达式；

向量下标为偶数，那么累加条件应该为余数为0，即 $\mod 2 = 0$ ，则表达式为：
$\sum_{i \mod 2 = 0} \mathbf{x}_{i}$
或者也可以对下标乘以2，这样可以保证下标是偶数。
代码表示如下：

double sum = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++)
   if (i % 2 ==0)
       sum += x[i];

2、各写出一道累加、累乘、积分表达式的习题，并给出标准答案；

（1）累加表达式习题：求数列 ${a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，其中 $a_{n}=2n-1$

标准答案：累加表达式为： $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)$
使用等差数列求和公式，得到： $S_{n}=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+(2n-1))}{2}=n^2$

（2）累乘表达式习题：求数列 ${b_{n}\}$ 的前 $n$ 项积，其中 $b_{n}=3^n$

标准答案： $P_n=\prod_{k=1}^{n}3^{k}$
使用指数运算法则，得到： $P_n=3^1 \times 3^2 \times \dots \times 3^n = 3^{1+2+ \dots +n}=3^{\frac{n(n+1)}{2}}$
（3）积分表达式：求函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上的定积分
标准答案：积分表达式为 $\int_{0}^{1}x^2dx$
使用微积分基本定理，得到： $\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]^{1}_{0}=\frac{1}{3} \times 1^3 - \frac{1}{3} \times 0^3=\frac{1}{3}$

3、是否使用过三重累加？描述一下其应用；

三重累加（三重求和）是数学中用于计算三维空间或集合中元素的总和的一种运算。在编程和数学分析中，三重累加经常用于处理三维数组、网格或空间中的点集。
应用描述：
- 三维数据处理：当处理三维数组或矩阵时，三重累加可用于计算数组中所有元素的总和。
- 统计和数据分析：在统计学和数据分析中，当数据集具有三维结构（如时间序列、地理空间数据和多个特征的组合）时，三重累加可以用于计算总和、平均值或其他统计量。
- 优化和机器学习：在优化问题和机器学习算法中，三重累加可能用于计算损失函数、正则化项或其他需要考虑三维数据结构的量。

4、给出一个常用的定积分，将手算结果与程序结果对比；

计算函数 $f(x)=\sin(x)\cos(x)$ 在区间 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上的定积分
原函数： $F(x)=\int \sin(x)\cos(x)dx = \int \frac{1}{2}\sin(2x)dx = -\frac{1}{4} \cos(2x)$
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)\cos(x)dx = F(\frac{\pi}{2})-F(0)=-\frac{1}{4}cos(\pi)-(-\frac{1}{4}cos(0))=\frac{1}{4}$
程序计算：使用Python计算

# 导入需要的库  
from scipy.integrate import quad
import numpy as np


def f(x):
    return np.sin(x) * np.cos(x)


# 计算定积分
result, error = quad(f, 0, np.pi / 2)


print(f"程序计算结果为：{result}")
print(f"估计误差为：{error}")